श्रेणी सिद्धांत में अपरिवर्तनीयता क्या है?
श्रेणी सिद्धांत में, एक फ़ंक्टर को अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि इसे सरल फ़ंक्शंस के उत्पाद के रूप में विघटित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक फ़नकार अपरिवर्तनीय है यदि इसे "सरल" फ़नकार की संरचना के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां सादगी को संरचना में शामिल आकारिकी की संख्या के संदर्भ में मापा जाता है।
उदाहरण के लिए, सेट की श्रेणी पर विचार करें, जहां एकमात्र रूपवाद सेटों के बीच के कार्य हैं। पहचान फ़ैक्टर, जो बस सेट को अपरिवर्तित लौटाता है, एक अपरिवर्तनीय फ़ैक्टर है क्योंकि इसे सरल फ़ैक्टर के उत्पाद के रूप में विघटित नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर, फ़ैक्टर जो प्रत्येक सेट को उसके पॉवरसेट पर मैप करता है, अपरिवर्तनीय नहीं है क्योंकि इसे सरल फ़ैक्टर के उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है: फ़ैक्टर जो प्रत्येक सेट को उसके अंतर्निहित सेट पर मैप करता है, और फ़ैक्टर जो प्रत्येक सेट को उसके पॉवरसेट पर मैप करता है .
Ireductibility श्रेणी सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि यह "आदिम" वस्तुओं या "बुनियादी" वस्तुओं की धारणा से निकटता से संबंधित है। किसी भी श्रेणी में, कुछ वस्तुएं ऐसी होती हैं जिन्हें सरल वस्तुओं में विघटित नहीं किया जा सकता है, और इन वस्तुओं को अक्सर आदिम या बुनियादी कहा जाता है। इसी तरह, कुछ फ़ंक्शन ऐसे होते हैं जिन्हें सरल फ़ैक्टर में विघटित नहीं किया जा सकता है, और इन फ़ैक्टर को अक्सर अपरिवर्तनीय कहा जाता है। संक्षेप में, अपरिवर्तनीयता श्रेणी सिद्धांत में एक अवधारणा है जो इस विचार को संदर्भित करती है कि कुछ फ़ैक्टर को सरल फ़ैक्टर में विघटित नहीं किया जा सकता है। यह आदिम या बुनियादी वस्तुओं की धारणा से निकटता से संबंधित है, और यह श्रेणियों की संरचना को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
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