A mátrixok kommutátorának megértése

Két A és B mátrix kommutátora, amelyet [A,B]-vel jelölünk, egy olyan mátrix, amely az egyik mátrix műveletének a másikra történő alkalmazásának eredményét reprezentálja. Pontosabban, [A,B] = AB-BA. Más szóval, ez a különbség A és B szorzata, valamint B és A szorzata között.

Például, ha van két mátrixunk A = [a11, a12; a21, a22] és B = [b11, b12; b21, b22], akkor az [A,B] = AB -BA kommutátor a következő lenne:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Két mátrix kommutátora használható a mátrixszorzat ingázási hibájának mérésére. Ha a kommutátor nulla, akkor a mátrixszorzat kommutál, vagyis nem számít, hogy milyen sorrendben szorozzuk a mátrixokat. Ha a kommutátor nem nulla, akkor a mátrixszorzat nem ingázik, és a mátrixok szorzatának sorrendje számít. Összefoglalva, két mátrix kommutátora annak mértéke, hogy a mátrixszorzat mennyire ingázik, és lehet annak meghatározására szolgál, hogy a termék kommutatív-e vagy sem.