A Weierstrass-függvény megértése: Útmutató a sehol sem folyamatos funkciókhoz

A Weierstrass-függvény egy matematikai függvény, amelyet a folytonos függvény fogalmának meghatározására használnak. Karl Weierstrass német matematikus vezette be a 19. század végén. A függvény definíciója a következő:

f(x) = 0, ha x racionális (x = a/b, ahol a és b egész számok, és b értéke nem nulla)

f(x) = 1/x, ha x irracionális ( x nem fejezhető ki egész számok arányaként)

A Weierstrass-függvény egy példa a sehol sem folytonos függvényre, ami azt jelenti, hogy nincs olyan pontja, ahol folytonos lenne. Ennek az az oka, hogy a függvény folyamatosan változtatja az értékét, ahogy az x változik, és nincsenek olyan pontok, ahol a függvény mindig meghatározásra kerül.

A Weierstrass-függvénynek számos fontos tulajdonsága van, többek között:

1. A racionális számok minden pontján folytonos, de az irracionális számok egyetlen pontján sem.
2. A racionális számok minden pontján differenciálható, de az irracionális számok egyetlen pontján sem.
3. A racionális számok minden pontjában van véges határa, de nincs véges határa az irracionális számok egyetlen pontjában sem.
4. Felül és alul a 0 és 1/x függvények határolják.

A Weierstrass-függvénynek számos matematikai alkalmazása van, különösen a valós elemzés területén. Arra használják, hogy demonstrálják a sehol sem folytonos függvények létezését, amelyek olyan függvények, amelyeknek nincs olyan pontja, ahol folytonosak lennének. A matematika más területein is alkalmazható, mint például a topológia és a mértékelmélet.