Az előszorzás megértése a lineáris algebrában

Az előszorzás egy mátrixművelet, amely egy mátrix minden elemét megszorozza egy másik mátrix megfelelő elemével, és a „·” vagy „⋅” szimbólum jelöli. Hadamard-szorzatként vagy Schur-szorzatként is ismert.

Részletesebben, ha két A és B mátrixunk van, akkor az AB előszorzást a következőképpen definiáljuk:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

ahol A egy n x n mátrix , B egy n x m-es mátrix, n és m pedig a mátrixok méretei. Az eredmény egy n x m-es mátrix, ahol minden elem az (i, j) pozícióban az A és B megfelelő elemeinek szorzatának összege.

Az előszorzásnak van néhány hasznos tulajdonsága, például:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Az előszorzást a lineáris algebra számos területén használják, például a sajátérték-bontásban, az egyesérték-felbontásban és a mátrixfaktorizálásban. A gépi tanulásban, jelfeldolgozásban és más olyan területeken is használják, ahol mátrixokat használnak adatok vagy transzformációk ábrázolására.