Mi az a monoid? Definíció, példák és alkalmazások

A monoid egy matematikai szerkezet, amely elemek halmazából és egy műveletből áll, amely egyesíti ezeket az elemeket bizonyos tulajdonságokat kielégítő módon. Pontosabban, a monoid a következőképpen definiálható:

* Az elemek "M" halmaza, ami bármi lehet (számok, szimbólumok stb.).
* Egy „*” művelet, amely két „a” és „b” elemet vesz át az „M”-ből, és egy másik „a * b” elemet ad vissza, szintén „M”-ben.

A műveletnek meg kell felelnie a következő tulajdonságoknak:

* Aszociativitás: "(a * b) * c = a * (b * c)" minden "a", "b" és "c" esetén az "M"-ben. Ez azt jelenti, hogy a művelet végrehajtásának sorrendje nem számít.* Identitás: Létezik egy "e" elem az "M"-ben, így az "a * e = e * a = a" az összes "a" elemre M`. Ezt az elemet identitáselemnek nevezik, és „semleges” elemként szolgál a művelethez.
* Inverz: Minden „a” elemhez az „M”-ben létezik egy másik „b” elem az „M”-ben, így a „ a * b = b * a = e`. Ezt a "b" elemet az "a" inverzének nevezik, és visszavonja az "a" hatását, ha vele kombinálják.

Például az összeadás művelettel rendelkező egész számok halmaza monoidot alkot:

* Az `M halmaz ` az összes egész szám halmaza.
* A `*` művelet összeadás.
* Az identitáselem 0, mert `a + 0 = a` bármely `a` egész számra.
* Egy elem inverze `a ` az `-a`, mert az `a + (-a) = 0`.

A monoid másik példája az összes karakterlánc halmaza az összefűzés műveletével:

* Az `M' halmaz az összes karakterkészlet karakterláncok.
* A `*` művelet az összefűzés.
* Az identitáselem az üres karakterlánc, mert `a + "" = a` bármely `a` karakterlánchoz.
* Az `a` elem inverze az `a` megfordításával kapott karakterlánc, mert `a + ("" + a) = a + a = e`.

A monoidokat a matematika és a számítástechnika számos területén használják, például az absztrakt algebrában, a csoportelméletben és a funkcionálisban programozás. Módot biztosítanak a szimmetria és a struktúra leírására különféle matematikai objektumokban és rendszerekben, és számos alkalmazásuk van a kriptográfiában, a kódoláselméletben és a számítástechnika más területein.