Mi az a nemtriviális függvény a kategóriaelméletben?

A kategóriaelméletben egy funktort "nemtriviálisnak" vagy "nem tarthatónak" neveznek, ha nem ekvivalenciarelációról van szó. Más szóval, ha a funktor nem őrzi meg a morfizmusok egyenlőségét, akkor nem triviális.

Vegyük például a halmazok kategóriáját, ahol a morfizmusok halmazok közötti függvények. Az identitásfüggvény, amely egyszerűen leképez minden halmazt önmagára és minden függvényt önmagára, triviális funktor, mert megőrzi az összes morfizmust. Másrészt az a funktor, amely minden halmazt a hatványkészletére, és minden függvényt az inverzére leképez, nem triviális, mert nem őrzi meg a morfizmusok egyenlőségét. Általánosságban elmondható, hogy a nem triviális funktor egy "nem triviális" transzformációként fogható fel. kategóriák között, ami valamilyen módon megváltoztatja a kategória mögöttes szerkezetét.