Mi az a politóp? Definíció, típusok és alkalmazások

A politóp egy geometriai objektum, amelyet úgy definiálunk, mint azon pontok halmaza, amelyek kielégítik a lineáris egyenleteket. Ez egy sokszög vagy egy poliéder általánosítása, amelyek a politópok speciális esetei.

Részletesebben, a politóp egy n-dimenziós térben lévő pontok konvex halmaza, amelyet n darab ismeretlenben lévő n lineáris egyenlet határoz meg. Az egyenleteket általában a következő formában írják fel:

a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = 0

ahol x1, x2, ..., xn a politóp pontjainak változói (vagy koordinátái), és az a1, a2, ..., an olyan állandók, amelyek meghatározzák a politóp alakját. Ezeknek az egyenleteknek a megoldásai azok a pontok, amelyek a politópon vagy azon belül helyezkednek el.

Sok különböző típusú politóp létezik, többek között:

* Szimplex: A szimplex egy háromszög vagy egy tetraéder általánosítása magasabb dimenziókra. N lineáris egyenlet határozza meg n ismeretlenben, és n+1 csúcsa van.
* Kúp: A kúp egy politóp, amely az egyik végén pontra szűkül. Lineáris egyenletek halmaza határozza meg, amelyek csak egy változót tartalmaznak.
* Piramis: A piramis egy politóp, amelynek van egy alapja és egy csúcsa. Lineáris egyenletek halmaza határozza meg, amelyek csak egy változót tartalmaznak.
* Prizma: A prizma olyan politóp, amelynek két alapja és egy magassága van. Egy sor lineáris egyenlet határozza meg, amelyek csak egy változót tartalmaznak.

A politópoknak számos alkalmazása van a matematikában, a számítástechnikában és a mérnöki tudományokban. Összetett rendszerek modellezésére, függvények optimalizálására, valamint geometriával és kombinatorikával kapcsolatos problémák megoldására használják.

Íme néhány példa a politópokra:

* A szimplex egy 1-dimenziós politóp, amely egyetlen pontból áll.
* A háromszög egy 2 -dimenziós politóp, amely három csúcsból áll.
* A tetraéder egy 3-dimenziós politóp, amely négy csúcsból áll.
* A kocka egy 4 dimenziós politóp, amely hat négyzetlapból áll.
* A dodekaéder egy 12-es dimenziós politóp, amely 12 ötszögletű lapból áll.

Összefoglalva, a politóp egy geometriai objektum, amelyet n ismeretlenben lévő lineáris egyenlet definiál, és számos alkalmazása van a matematikában, a számítástechnikában és a mérnöki tudományokban.