Mi az irreductibility a kategóriaelméletben?

A kategóriaelméletben egy függvényt irreducibilisnek nevezünk, ha nem bontható fel egyszerűbb funktorok szorzataként. Más szóval, egy funktor nem redukálható, ha nem fejezhető ki „egyszerűbb” funktorok összetételeként, ahol az egyszerűséget a kompozícióban részt vevő morfizmusok számában mérjük. az egyetlen morfizmus a halmazok közötti függvények. Az identitásfüggvény, amely egyszerűen változatlanul adja vissza a halmazt, egy irreducibilis funktor, mivel nem bontható fel egyszerűbb funktorok szorzataként. Másrészt, az egyes halmazokat a hatványkészletére leképező funktor nem irreducibilis, mert felbontható egyszerűbb függvények szorzataként: a függvény, amely minden halmazt leképez a mögöttes halmazára, és az a funktor, amely mindegyik halmazt leképezi a hatványkészletére. .

A redukálhatóság fontos fogalom a kategóriaelméletben, mert szorosan kapcsolódik a "primitív" objektumok vagy az "alap" objektumok fogalmához. Bármely kategóriában vannak bizonyos objektumok, amelyeket nem lehet egyszerűbb objektumokra bontani, és ezeket az objektumokat gyakran primitívnek vagy alapvetőnek nevezik. Hasonlóképpen vannak bizonyos funktorok, amelyeket nem lehet egyszerűbb funktorokra bontani, és ezeket gyakran irreducibiliseknek nevezik. Összefoglalva, az irreducibilitás egy olyan fogalom a kategóriaelméletben, amely arra utal, hogy egyes funktorokat nem lehet egyszerűbb funktorokra bontani. Szorosan kapcsolódik a primitív vagy alapvető objektumok fogalmához, és fontos fogalom a kategóriák szerkezetének megértéséhez.