Apa itu Monoid? Pengertian, Contoh, dan Penerapannya

Monoid adalah struktur matematika yang terdiri dari sekumpulan elemen dan operasi yang menggabungkan elemen-elemen tersebut sedemikian rupa sehingga memenuhi sifat-sifat tertentu.

Untuk lebih spesifik, monoid didefinisikan sebagai berikut:

* Sekumpulan `M` elemen, yang bisa berupa apa saja (angka, simbol, dll.).
* Sebuah operasi `*` yang mengambil dua elemen `a` dan `b` dari `M` dan mengembalikan elemen lain `a * b` juga di `M`.

Sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh operasi ini adalah:

* Asosiatif: `(a * b) * c = a * (b * c)` untuk semua `a`, `b`, dan `c` di `M`. Ini berarti urutan operasi yang kita lakukan tidak menjadi masalah.
* Identitas: Terdapat elemen `e` di `M` sehingga `a * e = e * a = a` untuk semua `a` di ` M`. Elemen ini disebut elemen identitas, dan berfungsi sebagai elemen "netral" untuk operasi tersebut.
* Invers: Untuk setiap elemen `a` di `M`, terdapat elemen lain `b` di `M` sehingga ` a * b = b * a = e`. Elemen `b` ini disebut invers dari `a`, dan menghilangkan efek `a` ketika digabungkan dengannya.

Misalnya, himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan membentuk monoid:

* Himpunan `M ` adalah himpunan semua bilangan bulat.
* Operasi `*` adalah penjumlahan.
* Elemen identitasnya adalah 0, karena `a + 0 = a` untuk sembarang bilangan bulat `a`.
* Kebalikan dari suatu elemen `a ` adalah `-a`, karena `a + (-a) = 0`.

Contoh lain dari monoid adalah himpunan semua string karakter dengan operasi penggabungan:

* Himpunan `M` adalah himpunan semua rangkaian karakter.
* Operasi `*` adalah penggabungan.
* Elemen identitas adalah string kosong, karena `a + "" = a` untuk string apa pun `a`.
* Kebalikan dari elemen `a` adalah string yang diperoleh dengan membalikkan `a`, karena `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoid digunakan di banyak bidang matematika dan ilmu komputer, seperti aljabar abstrak, teori grup, dan fungsional pemrograman. Mereka menyediakan cara untuk menggambarkan simetri dan struktur dalam berbagai objek dan sistem matematika, dan mereka memiliki banyak penerapan dalam kriptografi, teori pengkodean, dan bidang ilmu komputer lainnya.