Memahami Fungsi Weierstrass: Panduan Fungsi Kontinu Nowhere

Fungsi Weierstrass adalah fungsi matematika yang digunakan untuk mendefinisikan konsep fungsi kontinu. Ia diperkenalkan oleh Karl Weierstrass, seorang matematikawan Jerman, pada akhir abad ke-19. Fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut:

f(x) = 0 jika x rasional (x = a/b, dengan a dan b bilangan bulat dan b bukan nol)

f(x) = 1/x jika x irasional ( x tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat)

Fungsi Weierstrass merupakan contoh fungsi kontinu dimana-mana, artinya fungsi tersebut tidak mempunyai titik kontinu. Hal ini karena fungsi tersebut selalu berubah nilainya seiring dengan perubahan x, dan tidak ada titik di mana fungsi tersebut terdefinisi sepanjang waktu.

Fungsi Weierstrass mempunyai beberapa sifat penting, antara lain:

1. Kontinyu di setiap titik bilangan rasional, tetapi tidak kontinu di setiap titik bilangan irasional.
2. Ia dapat terdiferensiasi pada setiap titik pada bilangan rasional, tetapi tidak pada titik mana pun pada bilangan irasional.
3. Ia mempunyai limit yang berhingga pada setiap titik pada bilangan rasional, tetapi tidak mempunyai limit yang berhingga pada setiap titik pada bilangan irasional.
4. Di atas dan di bawahnya dibatasi oleh fungsi 0 dan 1/x.

Fungsi Weierstrass memiliki banyak penerapan dalam matematika, khususnya dalam bidang analisis real. Ini digunakan untuk mendemonstrasikan keberadaan fungsi kontinu di mana pun, yaitu fungsi yang tidak memiliki titik kontinu. Ia juga mempunyai aplikasi dalam bidang matematika lain, seperti topologi dan teori ukuran.