Memahami Isogenies dalam Kriptografi

Dalam kriptografi, isogeni adalah fungsi matematika yang memetakan satu kurva elips ke kurva elips lainnya. Isogeni digunakan dalam berbagai protokol kriptografi, termasuk pertukaran kunci dan tanda tangan digital.

Isogeni adalah homomorfisme (fungsi yang mempertahankan struktur grup) antara dua kurva elips. Dengan kata lain, ini adalah fungsi yang memetakan satu kurva ke kurva lainnya sedemikian rupa sehingga operasi grup kurva domain tetap terjaga. Isogeni dapat berupa dugaan (yaitu, memetakan setiap titik pada kurva domain ke titik unik pada kurva rentang) atau injektif (yaitu, memetakan setiap titik pada kurva domain ke titik unik pada kurva rentang, dan tidak ada titik pada kurva jangkauan memiliki gambaran awal di bawah isogeni).

Isogeni penting dalam kriptografi karena memungkinkan pertukaran kunci yang efisien antara dua pihak yang berbagi hubungan isogeni. Hal ini dapat berguna dalam berbagai aplikasi, seperti protokol pertukaran kunci, tanda tangan digital, dan sistem pesan aman. Misalnya, jika dua pihak mempunyai kunci rahasia bersama yang berasal dari isogeni antara masing-masing kurva elips, mereka dapat menggunakan kunci ini untuk mengenkripsi dan mendekripsi pesan, atau untuk mengautentikasi identitas masing-masing.

Ada beberapa jenis isogeni yang umumnya digunakan dalam kriptografi, antara lain:

1. Isogeni berbentuk y^2 = x^3 + ax + b: Ini adalah isogeni yang memetakan kurva elips berbentuk y^2 = x^3 + ax + b ke kurva elips lain yang bentuknya sama.
2. Isogeni berbentuk y^2 = x^3 + ax + b, dengan a dan b adalah konstanta: Ini adalah isogeni yang memetakan kurva elips berbentuk y^2 = x^3 + ax + b ke kurva elips lain yang berbentuk bentuk y^2 = x^3 + cx + d, dimana c dan d adalah konstanta.
3. Isogeni berbentuk y^2 = x^3 + ax + b, dengan a dan b adalah polinomial: Ini adalah isogeni yang memetakan kurva elips berbentuk y^2 = x^3 + ax + b ke kurva elips lainnya bentuk y^2 = x^3 + P(x)Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial.

Isogenies memiliki beberapa sifat yang diinginkan untuk aplikasi kriptografi, termasuk:

1. Efisiensi: Isogenies dapat dihitung secara efisien menggunakan transformasi Fourier cepat (FFT) atau algoritma khusus lainnya.
2. Keamanan: Isogeni tahan terhadap serangan komputer kuantum, menjadikannya pilihan yang menjanjikan untuk kriptografi pasca-kuantum.
3. Skalabilitas: Isogenies dapat digunakan untuk membangun sistem kriptografi berskala besar yang aman dan efisien.
4. Fleksibilitas: Isogenies dapat dikombinasikan dengan kriptografi primitif lainnya, seperti enkripsi kunci publik dan tanda tangan digital, untuk menciptakan protokol kriptografi serbaguna.

Singkatnya, isogenies adalah fungsi matematika yang memetakan satu kurva elips ke kurva elips lainnya, dan memiliki cakupan penerapan yang luas. dalam kriptografi, termasuk pertukaran kunci, tanda tangan digital, dan sistem pesan aman. Mereka menawarkan beberapa properti yang diinginkan, seperti efisiensi, keamanan, skalabilitas, dan fleksibilitas, menjadikannya pilihan yang menjanjikan untuk kriptografi pasca-kuantum.