Memahami Komutator Matriks

Komutator dua matriks A dan B, dilambangkan dengan [A,B], adalah matriks yang menyatakan hasil penerapan operasi suatu matriks ke matriks lainnya. Khususnya, [A,B] = AB -BA. Dengan kata lain, ini adalah selisih antara hasil kali A dan B, serta hasil kali B dan A.

Misalnya, jika kita mempunyai dua matriks A = [a11, a12; a21, a22] dan B = [b11, b12; b21, b22], maka komutator [A,B] = AB -BA adalah:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Komutator dua matriks dapat digunakan untuk mengukur kegagalan hasil kali matriks untuk melakukan perjalanan. Jika komutatornya nol, maka hasil perkalian matriksnya mengalami komutasi, artinya urutan perkalian matriks tidak menjadi masalah. Jika komutatornya bukan nol, maka hasil perkalian matriks tidak akan berubah, dan urutan perkalian matriks-matriks itu penting.

Singkatnya, komutator dua matriks adalah ukuran seberapa baik hasil kali matriks tersebut, dan dapat digunakan untuk menentukan apakah produk tersebut bersifat komutatif atau tidak.