ワイエルシュトラス関数を理解する: どこにもない連続関数へのガイド

ワイエルシュトラス関数は、連続関数の概念を定義するために使用される数学関数です。 19 世紀後半にドイツの数学者カールヴァイエルシュトラスによって導入されました。この関数は次のように定義されます。 x が有理数の場合は

f(x) = 0 (x = a/b、a と b は整数、b はゼロ以外)、x が無理数の場合は

f(x) = 1/x ( x は整数の比として表すことはできません)

ワイエルシュトラス関数はどこにも連続しない関数の例であり、連続する点がないことを意味します。これは、x の変化に応じて関数の値が常に変化しており、常に関数が定義される点がないためです。ヴァイエルシュトラス関数には、次のような重要な特性がいくつかあります。

1。有理数のどの点でも連続ですが、無理数のどの点でも連続ではありません。有理数のどの点でも微分可能ですが、無理数のどの点でも微分可能ではありません。有理数のどの点にも有限の極限がありますが、無理数のどの点にも有限の極限はありません。ワイエルシュトラス関数は、数学、特に実際の解析の分野で多くの用途があります。これは、どこにも連続しない関数、つまり連続する点を持たない関数の存在を示すために使用されます。また、トポロジーや測度理論など、数学の他の分野にも応用できます。