圏論における余積とは何ですか?

余積は、カテゴリー内の積の概念を一般化する数学的構造です。これは、デカルト積が 2 つのセットを新しいセットに結合するのと同様に、カテゴリ内の 2 つのオブジェクトを新しいオブジェクトに結合する方法です。カテゴリ C では、余積はオブジェクト A と B のペアと射です。 (「共射影」と呼ばれる) A から B まで、A から C までのすべての射はこの共射影を通じて因数分解できます。言い換えれば、A から C までのすべての矢印は、共投影の後に他の矢印が続く複合体として書くことができます。共積の重要なプロパティをいくつか示します。存在: 連産品は、終端オブジェクト (矢印のソースではないオブジェクト) を持つすべてのカテゴリに存在します。特に、すべてのカテゴリには終端オブジェクトがあり、多くの場合 1 または I.
2 で示されます。普遍的性質: A から B への共投影は、A から C への矢印を因数分解する「最良の」方法であるという意味で普遍的です。より正確には、A から C への射が 2 つある場合、1 つは因数分解できます。共投影ですが、もう一方はできません。
3. 結合性: 連積は結合性であり、(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) を意味します。これは、複数の共積を好きな順序で組み合わせることができることを意味します。分配性: 共積は積に対して分配します。これは、A ⊕ (B × C) = (A ⊕ B) × (A ⊕ C) を意味します。これにより、余積を使用して、単純なものからより複雑な構造を構築することができます。余積は、圏論、ホモロジー代数、層理論など、数学の多くの分野で使用されます。これらは、既存のオブジェクトを組み合わせて新しいオブジェクトを構築する方法を提供し、多くの興味深い特性と用途を備えています。