圏論の厳密性: ファンクターの正確性を理解するためのガイド

エグザクターは、ファンクターの「正確さ」の概念を定義する方法であり、ファンクターのプロパティを研究するために使用できます。エグザクターは、ファンクターと、ファンクターと恒等ファンクターの間の自然変換のペアです。この考え方は、ファンクターがグループやリング構造などの何らかの構造を保存するという意味で「正確」であるということであり、自然変換はファンクターがこの構造をどの程度よく保存するかを測定する方法です。たとえば、次の場合ファンクター F: Grp -> Ab があります。ここで、Grp は群のカテゴリー、Ab はアーベル群のカテゴリーです。その場合、F の厳密子はペア (F, ε) になります。ここで、ε は F からの自然変換です。 ε(g) が Grp 内のすべてのオブジェクト g について F(g) から g への準同型となるように、恒等関手 Id_Ab に変換します。これは、F が Grp 内のオブジェクトのグループ構造を保存し、ε が F がこの構造をどの程度保存しているかを測定することを意味します。エグザクターは、極限と限界の研究、派生関手の定義、および関手間の自然な変換。これらは、厳密数列や三角形など、圏論の他の重要な概念とも密接に関連しています。