線形代数の前乗算を理解する

前乗算は、ある行列の各要素を別の行列の対応する要素で乗算する行列演算であり、記号「・」または「⋅」で表されます。これは、アダマール積またはシュール積としても知られています。さらに詳しく説明すると、2 つの行列 A と B がある場合、それらの前乗算 AB は次のように定義されます。

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

ここで、A は n x n 行列です。 , B は n x m 行列で、n と m は行列の次元です。結果は n x m 行列になります。ここで、位置 (i, j) の各要素は、A と B の対応する要素の積の合計です。

Premultiplication には、次のようないくつかの便利なプロパティがあります。

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

前乗算は、固有値分解、特異値分解、行列因数分解など、線形代数の多くの分野で使用されます。また、機械学習、信号処理、およびデータや変換を表すために行列が使用されるその他の分野でも使用されます。