行列の交換子を理解する

[A,B] で示される 2 つの行列 A と B の交換子は、一方の行列の演算をもう一方の行列に適用した結果を表す行列です。具体的には、[A,B] = AB -BA となります。言い換えれば、これは A と B の積と B と A の積の差です。たとえば、2 つの行列があるとします。 A = [a11, a12; a21, a22] および B = [b11, b12; b21, b22] の場合、整流子 [A,B] = AB -BA は次のようになります。

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21、a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21、b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12、a22b11 - b22a11]

2 つの行列の交換子を使用して、行列積の交換の失敗を測定できます。交換子がゼロの場合、行列の積は交換されます。つまり、行列を乗算する順序は重要ではありません。交換子が 0 以外の場合、行列の積は交換されず、行列を乗算する順序が重要になります。要約すると、2 つの行列の交換子は、行列の積がどれだけよく交換できるかを示す尺度であり、次のようにすることができます。積が可換であるかどうかを判断するために使用されます。