集合論における可算性とは何ですか?
可算性とは、集合を自然数と 1 対 1 に対応させることができるという集合の性質です。言い換えれば、集合の各要素を一意の自然数と組み合わせることができれば、その集合は可算です。たとえば、各自然数を一意の整数と組み合わせることができるため、すべての自然数の集合は可算です。同じ理由で、すべての有理数の集合も可算です。一方、実数は数え切れないほど多く、各実数を一意の自然数と組み合わせる方法がないため、すべての実数のセットは数えられません。
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集合論の文脈では、その基数 (つまり、それに含まれる要素の数) が可算無限数である場合、その集合は可算であると言われます。これは、セットが適切に順序付けられることを意味します。つまり、空でないすべてのサブセットが最小の要素を持つような全体的な順序を持つことを意味します。たとえば、自然数のセットは適切に順序付けできるため、数えることができます。シーケンス内のすべての自然数をリストし、空ではない各サブセット (偶数のセットや 3 の倍数のセットなど) には最小要素があります。一方、実数のセットは数えることができません。きちんと秩序を保つことができないからです。上記の性質を満たす実数の全順序は存在しません。
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