Weierstrass 함수 이해: Nowhere 연속 함수에 대한 안내

Weierstrass 함수는 연속 함수의 개념을 정의하는 데 사용되는 수학 함수입니다. 19세기 후반 독일의 수학자 카를 바이어스트라스(Karl Weierstrass)에 의해 소개되었습니다. 함수는 다음과 같이 정의됩니다. x가 유리수인 경우

f(x) = 0(x = a/b, 여기서 a와 b는 정수이고 b는 0이 아님)

f(x) = 1/x x가 무리수인 경우( x는 정수의 비율로 표현될 수 없습니다.

Weierstrass 함수는 아무데도 연속되지 않는 함수의 예입니다. 즉, 연속적인 지점이 없음을 의미합니다. 이는 x가 변경됨에 따라 함수의 값이 지속적으로 변경되고 함수가 항상 정의되는 지점이 없기 때문입니다.

Weierstrass 함수에는 다음을 포함하여 몇 가지 중요한 속성이 있습니다.

1. 유리수에서는 모든 점에서 연속이지만, 무리수에서는 어느 점에서도 연속이 아닙니다.
2. 유리수에서는 모든 점에서 미분 가능하지만, 무리수에서는 미분 가능하지 않습니다.
3. 유리수에서는 모든 점에서 유한한 극한을 갖지만, 무리수에서는 어느 점에서도 유한한 극한을 갖지 않습니다.
4. 이는 각각 함수 0과 1/x에 의해 위와 아래로 제한됩니다.

Weierstrass 함수는 수학, 특히 실제 분석 분야에서 많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 이는 연속적인 점이 없는 함수인 연속되지 않는 함수의 존재를 입증하는 데 사용됩니다. 또한 토폴로지 및 측정 이론과 같은 수학의 다른 영역에도 적용됩니다.