Apa itu Monoid? Definisi, Contoh dan Aplikasi

Monoid ialah struktur matematik yang terdiri daripada satu set elemen dan operasi yang menggabungkan elemen tersebut dengan cara yang memenuhi sifat tertentu.

Untuk lebih spesifik, monoid ditakrifkan seperti berikut:

* Satu set `M` unsur, yang boleh menjadi apa-apa sahaja (nombor, simbol, dll.).
* Operasi `*` yang mengambil dua elemen `a` dan `b` daripada `M` dan mengembalikan satu lagi elemen `a * b` juga dalam `M`.

Sifat-sifat yang mesti dipenuhi oleh operasi ialah:

* Associativity: `(a * b) * c = a * (b * c)` untuk semua `a`, `b` dan `c` dalam `M`. Ini bermakna tertib di mana kita melaksanakan operasi itu tidak penting.
* Identiti: Terdapat unsur `e` dalam `M` sehingga `a * e = e * a = a` untuk semua `a` dalam ` M`. Elemen ini dipanggil elemen identiti, dan ia berfungsi sebagai elemen "neutral" untuk operasi.
* Songsang: Untuk setiap elemen `a` dalam `M`, wujud satu lagi elemen `b` dalam `M` supaya ` a * b = b * a = e`. Unsur `b` ini dipanggil songsang bagi `a`, dan ia membatalkan kesan `a` apabila digabungkan dengannya.

Sebagai contoh, set integer dengan operasi penambahan membentuk monoid:

* Set `M ` ialah set semua integer.
* Operasi `*` ialah penambahan.
* Unsur identiti ialah 0, kerana `a + 0 = a` untuk sebarang integer `a`.
* Songsangan bagi unsur `a ` ialah `-a`, kerana `a + (-a) = 0`.

Contoh lain monoid ialah set semua rentetan aksara dengan operasi penggabungan:

* Set `M` ialah set semua rentetan aksara.
* Operasi `*` ialah penggabungan.
* Elemen identiti ialah rentetan kosong, kerana `a + "" = a` untuk sebarang rentetan `a`.
* Invers bagi elemen `a` ialah rentetan yang diperoleh dengan menterbalikkan `a`, kerana `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoid digunakan dalam banyak bidang matematik dan sains komputer, seperti algebra abstrak, teori kumpulan dan fungsian. pengaturcaraan. Mereka menyediakan cara untuk menerangkan simetri dan struktur dalam pelbagai objek dan sistem matematik, dan mereka mempunyai banyak aplikasi dalam kriptografi, teori pengekodan dan bidang sains komputer yang lain.