Memahami Fungsi Weierstrass: Panduan untuk Fungsi Berterusan Tiada Tempat

Fungsi Weierstrass ialah fungsi matematik yang digunakan untuk mentakrifkan konsep fungsi berterusan. Ia diperkenalkan oleh Karl Weierstrass, seorang ahli matematik Jerman, pada akhir abad ke-19. Fungsi ditakrifkan seperti berikut:

f(x) = 0 jika x adalah rasional (x = a/b, dengan a dan b ialah integer dan b bukan sifar)

f(x) = 1/x jika x tidak rasional ( x tidak boleh dinyatakan sebagai nisbah integer)

Fungsi Weierstrass ialah contoh fungsi selanjar tiada tempat, bermakna ia tidak mempunyai titik di mana ia berterusan. Ini kerana fungsi sentiasa menukar nilainya apabila x berubah, dan tiada titik di mana fungsi itu ditakrifkan pada setiap masa.

Fungsi Weierstrass mempunyai beberapa sifat penting, termasuk:

1. Ia berterusan pada setiap titik dalam nombor rasional, tetapi tidak pada mana-mana titik dalam nombor tak rasional.
2. Ia boleh dibezakan pada setiap titik dalam nombor rasional, tetapi tidak pada mana-mana titik dalam nombor tak rasional.
3. Ia mempunyai had terhingga pada setiap titik dalam nombor rasional, tetapi tidak mempunyai had terhingga pada mana-mana titik dalam nombor tak rasional.
4. Ia dibatasi di atas dan di bawah oleh fungsi 0 dan 1/x, masing-masing.

Fungsi Weierstrass mempunyai banyak aplikasi dalam matematik, terutamanya dalam bidang analisis sebenar. Ia digunakan untuk menunjukkan kewujudan fungsi berterusan nowhere, iaitu fungsi yang tidak mempunyai titik di mana ia berterusan. Ia juga mempunyai aplikasi dalam bidang matematik lain, seperti topologi dan teori ukuran.