Memahami Komutator Matriks

Komutator dua matriks A dan B, dilambangkan dengan [A,B], ialah matriks yang mewakili hasil penggunaan operasi satu matriks kepada yang lain. Secara khusus, [A,B] = AB -BA. Dalam erti kata lain, ia adalah perbezaan antara hasil darab A dan B, dan hasil darab B dan A.

Sebagai contoh, jika kita mempunyai dua matriks A = [a11, a12; a21, a22] dan B = [b11, b12; b21, b22], maka komutator [A,B] = AB -BA ialah:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Komutator dua matriks boleh digunakan untuk mengukur kegagalan hasil matriks untuk berulang-alik. Jika komutator adalah sifar, maka produk matriks berulang-alik, bermakna susunan di mana kita mendarabkan matriks tidak penting. Jika komutator bukan sifar, maka hasil darab matriks tidak berulang-alik, dan tertib di mana kita mendarab matriks adalah penting.

Secara ringkasnya, komutator dua matriks ialah ukuran sejauh mana hasil darab matriks berulang-alik, dan boleh digunakan untuk menentukan sama ada produk itu komutatif atau tidak.