De commutator van matrices begrijpen

De commutator van twee matrices A en B, aangegeven met [A,B], is een matrix die het resultaat weergeeft van het toepassen van de werking van de ene matrix op de andere. Concreet geldt: [A,B] = AB -BA. Met andere woorden, het is het verschil tussen het product van A en B, en het product van B en A.

Als we bijvoorbeeld twee matrices hebben A = [a11, a12; a21, a22] en B = [b11, b12; b21, b22], dan zou de commutator [A,B] = AB -BA zijn:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

De commutator van twee matrices kan worden gebruikt om het falen van het matrixproduct om te pendelen te meten. Als de commutator nul is, pendelt het matrixproduct, wat betekent dat de volgorde waarin we de matrices vermenigvuldigen er niet toe doet. Als de commutator niet nul is, pendelt het matrixproduct niet, en doet de volgorde waarin we de matrices vermenigvuldigen er wel toe. Samenvattend: de commutator van twee matrices is een maatstaf voor hoe goed het matrixproduct pendelt, en kan gebruikt om te bepalen of het product commutatief is of niet.