De Weierstrass-functie begrijpen: een gids voor nergens continue functies

Weierstrass-functie is een wiskundige functie die wordt gebruikt om het concept van een continue functie te definiëren. Het werd eind 19e eeuw geïntroduceerd door Karl Weierstrass, een Duitse wiskundige. De functie wordt als volgt gedefinieerd:

f(x) = 0 als x rationeel is (x = a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn en b niet nul is)

f(x) = 1/x als x irrationeel is ( x kan niet worden uitgedrukt als een verhouding van gehele getallen)

De Weierstrass-functie is een voorbeeld van een nergens continue functie, wat betekent dat deze geen punten heeft waarop deze continu is. Dit komt doordat de functie voortdurend van waarde verandert naarmate x verandert, en er geen punten zijn waarop de functie altijd wordt gedefinieerd.

De Weierstrass-functie heeft verschillende belangrijke eigenschappen, waaronder:

1. Het is continu op elk punt in de rationale getallen, maar op geen enkel punt in de irrationele getallen.
2. Het is op elk punt in de rationale getallen differentieerbaar, maar op geen enkel punt in de irrationele getallen. Het heeft een eindige limiet op elk punt in de rationale getallen, maar heeft op geen enkel punt in de irrationele getallen een eindige limiet. Het wordt boven en onder begrensd door respectievelijk de functies 0 en 1/x.

De Weierstrass-functie heeft veel toepassingen in de wiskunde, vooral op het gebied van reële analyse. Het wordt gebruikt om het bestaan aan te tonen van nergens continue functies, dit zijn functies die geen punten hebben waarop ze continu zijn. Het heeft ook toepassingen op andere gebieden van de wiskunde, zoals topologie en maattheorie.