Prevermenigvuldiging begrijpen in lineaire algebra

Voorvermenigvuldiging is een matrixbewerking waarbij elk element van de ene matrix wordt vermenigvuldigd met het overeenkomstige element van een andere matrix, en wordt aangegeven met het symbool "·" of "⋅". Het is ook bekend als het Hadamard-product of het Schur-product.

Meer gedetailleerd: als we twee matrices A en B hebben, wordt hun voorvermenigvuldiging AB als volgt gedefinieerd:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

waarbij A een n x n-matrix is B is een n x m matrix, en n en m zijn de afmetingen van de matrices. Het resultaat is een n x m matrix, waarbij elk element op positie (i, j) de som is van de producten van de overeenkomstige elementen van A en B.

Voorvermenigvuldiging heeft enkele nuttige eigenschappen, zoals:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Voorvermenigvuldiging wordt op veel gebieden van de lineaire algebra gebruikt, zoals de ontbinding van eigenwaarden, ontleding van singuliere waarden en factorisatie van matrixen. Het wordt ook gebruikt in machinaal leren, signaalverwerking en andere gebieden waar matrices worden gebruikt om gegevens of transformaties weer te geven.