Wat is een monooïde? Definitie, voorbeelden en toepassingen

Een monoïde is een wiskundige structuur die bestaat uit een reeks elementen en een bewerking die deze elementen combineert op een manier die aan bepaalde eigenschappen voldoet. Om specifieker te zijn, wordt een monoïde als volgt gedefinieerd: Een reeks 'M' elementen, dit kan van alles zijn (cijfers, symbolen, enz.).
* Een bewerking `*` die twee elementen `a` en `b` uit `M` neemt en een ander element `a * b` retourneert, ook in `M`.

De eigenschappen waaraan de bewerking moet voldoen zijn:

* Associativiteit: `(a * b) * c = a * (b * c)` voor alle `a`, `b` en `c` in `M`. Dit betekent dat de volgorde waarin we de bewerking uitvoeren er niet toe doet.
* Identiteit: Er bestaat een element `e` in `M` zodat `a * e = e * a = a` voor alle `a` in ` M`. Dit element wordt het identiteitselement genoemd en dient als een "neutraal" element voor de bewerking.* Omgekeerd: voor elk element `a` in `M` bestaat er een ander element `b` in `M` zodat ` a * b = b * a = e`. Dit element 'b' wordt de inverse van 'a' genoemd, en het maakt het effect van 'a' ongedaan als het ermee wordt gecombineerd. ` is de verzameling van alle gehele getallen.
* De bewerking `*` is optelling.
* Het identiteitselement is 0, omdat `a + 0 = a` voor elk geheel getal `a`.
* De inverse van een element `a ` is `-a`, omdat `a + (-a) = 0`.

Een ander voorbeeld van een monoïde is de verzameling van alle tekenreeksen met de werking van aaneenschakeling:

* De verzameling `M` is de verzameling van alle tekenreeksen.
* De bewerking `*` is aaneenschakeling.
* Het identiteitselement is de lege tekenreeks, omdat `a + "" = a` voor elke tekenreeks `a`.
* Het omgekeerde van een element `a` is de string die wordt verkregen door `a` om te keren, omdat `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoïden worden gebruikt in veel gebieden van de wiskunde en informatica, zoals abstracte algebra, groepentheorie en functionele programmering. Ze bieden een manier om symmetrie en structuur in verschillende wiskundige objecten en systemen te beschrijven, en ze hebben veel toepassingen in cryptografie, codeertheorie en andere gebieden van de informatica.