Wat is een niet-triviale functor in de categorietheorie?

In de categorietheorie wordt een functor "niet-triviaal" of "niet-houdbaar" genoemd als het geen equivalentierelatie is. Met andere woorden: als de functor de gelijkheid van morfismen niet behoudt, is deze niet-triviaal. Beschouw bijvoorbeeld de categorie verzamelingen, waarbij de morfismen functies tussen verzamelingen zijn. De identiteitsfunctor, die simpelweg elke set aan zichzelf en elke functie aan zichzelf toewijst, is een triviale functor omdat hij alle morfismen behoudt. Aan de andere kant is de functor die elke set aan zijn powerset en elke functie aan zijn inverse koppelt, niet-triviaal omdat hij de gelijkheid van morfismen niet behoudt. Over het algemeen kan een niet-triviale functor worden gezien als een "niet-triviale" transformatie tussen categorieën, waardoor de onderliggende structuur van de categorie op de een of andere manier verandert.