Exactors in Category Theory: A Guide to Understanding Exactness in Functors

Οι εκτελεστές είναι ένας τρόπος ορισμού μιας έννοιας "ακριβείας" για έναν συντελεστή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη των ιδιοτήτων του συντελεστή.

Ένας εκτελεστής είναι ένα ζεύγος συντελεστή και ένας φυσικός μετασχηματισμός μεταξύ αυτού και του συντελεστή ταυτότητας. Η ιδέα είναι ότι ο συντελεστής είναι "ακριβής" με την έννοια ότι διατηρεί κάποιο είδος δομής, όπως μια δομή ομάδας ή δακτυλίου, και ο φυσικός μετασχηματισμός είναι ένας τρόπος να μετρηθεί πόσο καλά ο συντελεστής διατηρεί αυτή τη δομή.

Για παράδειγμα, εάν έχουμε έναν συντελεστή F: Grp -> Ab, όπου Grp είναι η κατηγορία των ομάδων και Ab είναι η κατηγορία των abelian ομάδων, τότε ένας συντελεστής για F μπορεί να είναι ένα ζεύγος (F, ε), όπου ε είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός από F στον συντελεστή ταυτότητας Id_Ab, έτσι ώστε το ε(g) να είναι ομομορφισμός από το F(g) στο g για όλα τα αντικείμενα g στο Grp. Αυτό σημαίνει ότι η F διατηρεί τη δομή της ομάδας των αντικειμένων σε Grp και η ε μετρά πόσο καλά διατηρεί η F αυτή τη δομή. φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ συντελεστών. Συσχετίζονται επίσης στενά με άλλες σημαντικές έννοιες στη θεωρία κατηγοριών, όπως ακριβείς ακολουθίες και τρίγωνα.