Forstå kommutatoren til matriser

Kommutatoren til to matriser A og B, betegnet med [A,B], er en matrise som representerer resultatet av å bruke operasjonen til en matrise på den andre. Spesifikt [A,B] = AB -BA. Det er med andre ord forskjellen mellom produktet av A og B, og produktet av B og A.

For eksempel, hvis vi har to matriser A = [a11, a12; a21, a22] og B = [bll, b12; b21, b22], så vil kommutatoren [A,B] = AB -BA v
re:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Kommutatoren til to matriser kan brukes til å måle feilen til matriseproduktet til å pendle. Hvis kommutatoren er null, så pendler matriseproduktet, noe som betyr at rekkefølgen vi multipliserer matrisene i spiller ingen rolle. Hvis kommutatoren ikke er null, så pendler ikke matriseproduktet, og rekkefølgen vi multipliserer matrisene i betyr noe.

Opsummert er kommutatoren til to matriser et mål på hvor godt matriseproduktet pendler, og kan v
re brukes til å avgjøre om produktet er kommutativt eller ikke.