Hva er en monooid? Definisjon, eksempler og applikasjoner

En monoid er en matematisk struktur som består av et sett med elementer og en operasjon som kombinerer disse elementene på en måte som tilfredsstiller visse egenskaper.

For å v
re mer spesifikk, er en monoid definert som følger:

* Et sett "M" av elementer, som kan v
re hva som helst (tall, symboler osv.).
* En operasjon `*` som tar to elementer `a` og `b` fra `M` og returnerer et annet element `a * b` også i `M`.

Egenskapene som operasjonen må tilfredsstille er:

* Associativitet: `(a * b) * c = a * (b * c)` for alle `a`, `b` og `c` i `M`. Dette betyr at rekkefølgen vi utfører operasjonen i ikke spiller noen rolle.
* Identitet: Det finnes et element `e` i `M` slik at `a * e = e * a = a` for alle `a` i ` M`. Dette elementet kalles identitetselementet, og det fungerer som et "nøytralt" element for operasjonen.
* Invers: For hvert element `a` i `M` eksisterer det et annet element `b` i `M` slik at ` a * b = b * a = e`. Dette elementet `b` kalles det inverse av `a`, og det opphever effekten av `a` når det kombineres med det.

For eksempel danner settet med heltall med operasjonen addisjon en monoid:

* Settet `M ` er settet av alle heltall.
* Operasjonen `*` er addisjon.
* Identitetselementet er 0, fordi `a + 0 = a` for et hvilket som helst heltall `a`.
* Det inverse av et element `a ` er `-a`, fordi `a + (-a) = 0`.

Et annet eksempel på en monoid er settet av alle strenger av tegn med operasjonen til sammenkobling:

* Settet `M` er settet av alle strenger av tegn.
* Operasjonen `*` er sammenkledning.
* Identitetselementet er den tomme strengen, fordi `a + "" = a` for en hvilken som helst streng `a`.
* Inversen av et element `a` er strengen som oppnås ved å reversere `a`, fordi `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoider brukes i mange områder av matematikk og informatikk, som abstrakt algebra, gruppeteori og funksjonell programmering. De gir en måte å beskrive symmetri og struktur i ulike matematiske objekter og systemer, og de har mange anvendelser innen kryptografi, kodingsteori og andre områder innen informatikk.