Co to jest monoid? Definicja, przykłady i zastosowania
Monoid to struktura matematyczna składająca się ze zbioru elementów i operacji łączącej te elementy w sposób spełniający określone właściwości.
Aby być bardziej szczegółowym, monoid definiuje się w następujący sposób:
* Zbiór „M” elementów, który może być czymkolwiek (liczbami, symbolami itp.).
* Operacja `*`, która pobiera dwa elementy `a` i `b` z `M` i zwraca inny element `a * b` również w `M`.
Właściwości, które musi spełniać operacja, to:
* Łączność: `(a * b) * c = a * (b * c)` dla wszystkich `a`, `b` i `c` w `M`. Oznacza to, że kolejność wykonywania operacji nie ma znaczenia.
* Tożsamość: Istnieje element `e` w `M` taki, że `a * e = e * a = a` dla wszystkich `a` w ` M`. Element ten nazywany jest elementem tożsamościowym i służy jako element „neutralny” dla operacji.
* Odwrotność: Dla każdego elementu `a` w `M` istnieje inny element `b` w `M` taki, że ` a * b = b * a = e`. Ten element `b` nazywany jest odwrotnością `a` i niweluje efekt `a` w połączeniu z nim.
Na przykład zbiór liczb całkowitych z operacją dodawania tworzy monoid:
* Zbiór `M ` jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych.
* Operacja `*` jest dodawaniem.ć* Elementem tożsamości jest 0, ponieważ `a + 0 = a` dla dowolnej liczby całkowitej `a`.
* Odwrotność elementu `a ` to `-a`, ponieważ `a + (-a) = 0`.
Innym przykładem monoidu jest zbiór wszystkich ciągów znaków z operacją łączenia:
* Zbiór `M` jest zbiorem wszystkich ciągi znaków.
* Operacja `*` to konkatenacja.
* Elementem tożsamości jest pusty ciąg znaków, ponieważ `a + "" = a` dla dowolnego ciągu `a`.
* Odwrotność elementu `a` to ciąg otrzymany przez odwrócenie `a`, ponieważ `a + („” + a) = a + a = e`.
Monoidy są używane w wielu obszarach matematyki i informatyki, takich jak algebra abstrakcyjna, teoria grup i funkcjonał programowanie. Umożliwiają opisanie symetrii i struktury różnych obiektów i systemów matematycznych oraz mają wiele zastosowań w kryptografii, teorii kodowania i innych obszarach informatyki.
To mi się podoba
To mi się nie podoba
Zgłoś błąd treści
Share
