Co to jest nieredukowalność w teorii kategorii?

W teorii kategorii funktor nazywa się nieredukowalnym, jeśli nie można go rozłożyć na iloczyn prostszych funktorów. Innymi słowy, funktor jest nieredukowalny, jeśli nie można go wyrazić jako złożenia „prostszych” funktorów, gdzie prostotę mierzy się liczbą morfizmów występujących w złożeniu. Rozważmy na przykład kategorię zbiorów, gdzie jedynymi morfizmami są funkcje między zbiorami. Funktor tożsamości, który po prostu zwraca zbiór w niezmienionej postaci, jest funktorem nieredukowalnym, ponieważ nie można go rozłożyć na iloczyn prostszych funktorów. Z drugiej strony funktor odwzorowujący każdy zbiór na jego zbiór potęgowy nie jest nieredukowalny, ponieważ można go rozłożyć na iloczyn prostszych funktorów: funktora odwzorowującego każdy zbiór na jego zbiór bazowy i funktora odwzorowującego każdy zbiór na jego zbiór potęgowy .

Iredukowalność jest ważnym pojęciem w teorii kategorii, ponieważ jest ściśle powiązana z pojęciem obiektów „prymitywnych” lub obiektów „podstawowych”. W każdej kategorii istnieją pewne obiekty, których nie można rozłożyć na prostsze obiekty i obiekty te często określa się jako prymitywne lub podstawowe. Podobnie, istnieją pewne funktory, których nie można rozłożyć na prostsze funktory i funktory te są często określane jako nieredukowalne.……Podsumowując, nieredukowalność jest pojęciem w teorii kategorii, które odnosi się do poglądu, że niektórych funktorów nie można rozłożyć na prostsze funktory. Jest ono ściśle powiązane z pojęciem obiektów prymitywnych lub podstawowych i jest pojęciem ważnym dla zrozumienia struktury kategorii.