Co to jest nietrywialny funktor w teorii kategorii?

W teorii kategorii funktor nazywany jest „nietrywialnym” lub „nie do utrzymania”, jeśli nie jest relacją równoważności. Innymi słowy, jeśli funktor nie zachowuje równości morfizmów, to jest on nietrywialny. Rozważmy na przykład kategorię zbiorów, gdzie morfizmy są funkcjami pomiędzy zbiorami. Funktor tożsamości, który po prostu odwzorowuje każdy zbiór na siebie i każdą funkcję na siebie, jest trywialnym funktorem, ponieważ zachowuje wszystkie morfizmy. Z drugiej strony, funktor, który odwzorowuje każdy zbiór na swój zbiór potęgowy i każdą funkcję na swoją odwrotność, jest nietrywialny, ponieważ nie zachowuje równości morfizmów....Ogólnie rzecz biorąc, nietrywialny funktor można uważać za „nietrywialną” transformację między kategoriami, co w jakiś sposób zmienia podstawową strukturę kategorii.