Co to jest produkt uboczny w teorii kategorii?

Koprodukt to konstrukcja matematyczna, która uogólnia pojęcie produktu w kategorii. Jest to sposób na połączenie dwóch obiektów w kategorii w nowy obiekt, podobnie jak iloczyn kartezjański łączy dwa zbiory w nowy zbiór. W kategorii C koprodukt to para obiektów A i B wraz z morfizmem (zwaną „współprojekcją”) od A do B, tak że każdy morfizm od A do C można rozłożyć na czynniki w ramach tej współprojekcji. Innymi słowy, każdą strzałkę od A do C można zapisać jako złożenie współrzutu, po którym następuje inna strzałka.…
Oto kilka kluczowych właściwości współproduktów:…
1. Istnienie: Produkty towarzyszące istnieją w dowolnej kategorii, która ma obiekt końcowy (obiekt, który nie jest źródłem żadnych strzałek). W szczególności każda kategoria ma obiekt końcowy, który jest często oznaczany przez 1 lub I.
2. Własność uniwersalna: Współprojekcja od A do B jest uniwersalna w tym sensie, że jest „najlepszym” sposobem rozłożenia strzałki od A do C. Dokładniej, jeśli istnieją dwa morfizmy od A do C, można to rozłożyć na czynniki współprojekcja, a druga nie.…3. Łączność: Współprodukty są asocjacyjne, co oznacza, że (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C). Oznacza to, że możemy łączyć wiele produktów towarzyszących w dowolnej kolejności.
4. Dystrybutywność: współprodukty rozdzielają się na produkt, co oznacza, że A ⊕ (B × C) = (A ⊕ B) × (A ⊕ C). To pozwala nam używać współproduktów do budowania bardziej złożonych struktur z prostszych.……Koprodukty są wykorzystywane w wielu obszarach matematyki, w tym w teorii kategorii, algebrze homologicznej i teorii snopów. Umożliwiają konstruowanie nowych obiektów poprzez łączenie już istniejących, mają wiele ciekawych właściwości i zastosowań.