Exactors w teorii kategorii: przewodnik po zrozumieniu dokładności funktorów

Egzaktory to sposób na zdefiniowanie pojęcia „dokładności” funktora, którego można użyć do badania właściwości funktora.…
Egzaktor to para funktora i naturalna transformacja między nim a funktorem tożsamości. Pomysł jest taki, że funktor jest „dokładny” w tym sensie, że zachowuje pewien rodzaj struktury, na przykład strukturę grupową lub pierścieniową, a naturalna transformacja jest sposobem pomiaru, jak dobrze funktor zachowuje tę strukturę.…
Na przykład, jeśli mamy funktor F: Grp -> Ab, gdzie Grp jest kategorią grup, a Ab jest kategorią grup abelowych, wówczas modułem wymuszającym dla F może być para (F, ε), gdzie ε jest naturalną transformacją z F do funktora tożsamości Id_Ab, tak że ε(g) jest homomorfizmem od F(g) do g dla wszystkich obiektów g w gr. Oznacza to, że F zachowuje strukturę grupową obiektów w Grp, a ε mierzy, jak dobrze F zachowuje tę strukturę.

Exactors mają wiele zastosowań w teorii kategorii, w tym w badaniu granic i współograniczeń, definicji funktorów pochodnych i badaniu naturalne przemiany pomiędzy funktorami. Są one również ściśle powiązane z innymi ważnymi pojęciami teorii kategorii, takimi jak ciągi dokładne i trójkąty.