Przestrzenie McCartana: uogólnienie rozmaitości dla geometrii nieprzemiennej

McCartan to struktura matematyczna uogólniająca pojęcie rozmaitości. Została wprowadzona przez Johna McCartana w latach 90. XX wieku jako sposób badania geometrii nieprzemiennej i geometrii przestrzeni z nietrywialną grupą podstawową. Przestrzeń McCartana to przestrzeń topologiczna wyposażona w snop pierścieni, zwana McCartanem snop, który koduje geometrię przestrzeni. Snop McCartana jest uogólnieniem snopa funkcji na rozmaitości i zawiera dodatkową strukturę, taką jak pojęcie „różniczki”, która niekoniecznie jest przemienna.…
Jedną z kluczowych cech przestrzeni McCartana jest to, że mogą one mieć nie- trywialną grupę podstawową, co oznacza, że przestrzeń niekoniecznie jest połączona ścieżkami. Inaczej jest w przypadku rozmaitości, które są zawsze połączone ścieżkami. Nietrywialna grupa podstawowa przestrzeni McCartana pozwala na badanie bardziej egzotycznych struktur geometrycznych, takich jak te występujące w geometrii nieprzemiennej i geometrii przestrzeni z nietrywialną grupą podstawową. Przestrzenie McCartana znalazły różnorodne zastosowania dziedzin, w tym geometrii algebraicznej, teorii liczb i fizyki matematycznej. Umożliwiają badanie obiektów geometrycznych, które niekoniecznie są przemienne, i wykorzystuje się je do badania szerokiego zakresu problemów, od geometrii rozmaitości algebraicznych po badanie kwantowych teorii pola.