Zrozumienie funkcji Weierstrassa: przewodnik po funkcjach ciągłych nigdzie

Funkcja Weierstrassa jest funkcją matematyczną służącą do zdefiniowania pojęcia funkcji ciągłej. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa pod koniec XIX wieku. Funkcja jest zdefiniowana w następujący sposób:

f(x) = 0, jeśli x jest wymierne (x = a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest różne od zera)

f(x) = 1/x, jeśli x jest niewymierne ( x nie może być wyrażone jako stosunek liczb całkowitych)…
Funkcja Weierstrassa jest przykładem funkcji ciągłej nigdzie, co oznacza, że nie ma punktów, w których jest ciągła. Dzieje się tak, ponieważ funkcja stale zmienia swoją wartość wraz ze zmianą x i nie ma zawsze punktów, w których funkcja jest zdefiniowana.

Funkcja Weierstrassa ma kilka ważnych właściwości, w tym:

1. Jest ciągła w każdym punkcie liczb wymiernych, ale nie w żadnym punkcie liczb niewymiernych.…2. Jest różniczkowalna w każdym punkcie liczb wymiernych, ale nie w żadnym punkcie liczb niewymiernych.…3. Ma skończoną granicę w każdym punkcie liczb wymiernych, ale nie ma skończonej granicy w żadnym punkcie liczb niewymiernych.…4. Jest ograniczona od góry i od dołu odpowiednio przez funkcje 0 i 1/x.…
Funkcja Weierstrassa ma wiele zastosowań w matematyce, szczególnie w dziedzinie analizy rzeczywistej. Służy do wykazania istnienia funkcji nigdzie ciągłych, czyli funkcji, które nie mają punktów, w których są ciągłe. Ma również zastosowanie w innych obszarach matematyki, takich jak topologia i teoria miary.