Zrozumienie premnożenia w algebrze liniowej

Mnożenie wstępne to operacja na macierzy, która polega na mnożeniu każdego elementu jednej macierzy przez odpowiedni element innej macierzy i jest oznaczona symbolem „·” lub „⋅”. Jest on również znany jako iloczyn Hadamarda lub iloczyn Schura.

Bardziej szczegółowo, jeśli mamy dwie macierze A i B, ich wstępne mnożenie AB definiuje się następująco:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

gdzie A jest macierzą n x n , B to macierz n x m, a n i m to wymiary macierzy. Wynikiem jest macierz n x m, w której każdy element w pozycji (i, j) jest sumą iloczynów odpowiednich elementów A i B.

Wstępne mnożenie ma kilka przydatnych właściwości, takich jak:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Premultiplikacja jest stosowana w wielu obszarach algebry liniowej, takich jak rozkład wartości własnych, rozkład wartości osobliwych i faktoryzacja macierzy. Jest również stosowany w uczeniu maszynowym, przetwarzaniu sygnałów i innych dziedzinach, w których macierze są używane do reprezentowania danych lub transformacji.