Compreendendo a função de Weierstrass: um guia para funções contínuas em lugar nenhum

A função de Weierstrass é uma função matemática usada para definir o conceito de função contínua. Foi introduzido por Karl Weierstrass, um matemático alemão, no final do século XIX. A função é definida da seguinte forma:

f(x) = 0 se x for racional (x = a/b, onde aeb são números inteiros e b é diferente de zero)

f(x) = 1/x se x for irracional ( x não pode ser expresso como uma proporção de números inteiros)

A função de Weierstrass é um exemplo de função contínua em lugar nenhum, o que significa que não tem pontos em que seja contínua. Isso ocorre porque a função muda constantemente seu valor conforme x muda, e não há pontos em que a função seja definida o tempo todo.

A função de Weierstrass tem várias propriedades importantes, incluindo:

1. É contínuo em todos os pontos dos números racionais, mas não em nenhum ponto dos números irracionais.
2. É diferenciável em todos os pontos dos números racionais, mas não em nenhum ponto dos números irracionais.
3. Tem um limite finito em cada ponto dos números racionais, mas não tem um limite finito em nenhum ponto dos números irracionais.
4. É delimitado acima e abaixo pelas funções 0 e 1/x, respectivamente.

A função de Weierstrass tem muitas aplicações em matemática, particularmente no campo da análise real. É usado para demonstrar a existência de funções contínuas em lugar nenhum, que são funções que não possuem pontos em que sejam contínuas. Também tem aplicações em outras áreas da matemática, como topologia e teoria da medida.