Compreendendo a pré-multiplicação em álgebra linear

A pré-multiplicação é uma operação matricial que multiplica cada elemento de uma matriz pelo elemento correspondente de outra matriz e é denotada pelo símbolo "·" ou "⋅". Também é conhecido como produto de Hadamard ou produto de Schur.

Mais detalhadamente, se tivermos duas matrizes A e B, sua pré-multiplicação AB é definida como segue:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

onde A é uma matriz n x n , B é uma matriz n x m e n e m são as dimensões das matrizes. O resultado é uma matriz n x m, onde cada elemento na posição (i, j) é a soma dos produtos dos elementos correspondentes de A e B.

A pré-multiplicação tem algumas propriedades úteis, como:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

A pré-multiplicação é usada em muitas áreas da álgebra linear, como decomposição de valores próprios, decomposição de valores singulares e fatoração de matrizes. Também é usado em aprendizado de máquina, processamento de sinais e outros campos onde matrizes são usadas para representar dados ou transformações.