Compreendendo a subdistintividade na teoria dos tipos e na teoria dos tipos de homotopia

No contexto da teoria dos tipos e da teoria dos tipos de homotopia, uma noção que foi introduzida por Vladimir Voevodsky e seus colaboradores é o conceito de "subdistintividade". outros tipos no sentido de que possui muita estrutura que não é compartilhada com outros tipos. Por exemplo, o tipo `Nat` (números naturais) é altamente distinto porque possui muita estrutura que não é compartilhada com outros tipos, como o fato de ser uma ordem linear e ter uma função sucessora.

No por outro lado, o tipo `Set` (conjuntos) é menos distinto porque não possui tanta estrutura que não seja compartilhada com outros tipos. Na verdade, `Set` é frequentemente considerado um tipo "universal" no sentido de que pode ser usado para codificar qualquer outro tipo, o que significa que ele não possui tanta estrutura que seja exclusiva dele.

A subdistinção de um type é uma medida de quanto o tipo é semelhante a outros tipos, no sentido de que possui menos estrutura que não é compartilhada com outros tipos. Por exemplo, o tipo `Fin Nat` (números naturais finitos) é menos distinto do que `Nat` porque possui menos estruturas que não são compartilhadas com outros tipos. Na verdade, `Fin Nat` pode ser considerado um "caso especial" de `Nat` no sentido de que é um subconjunto de `Nat` e tem menos elementos. de métodos, como o tamanho do tipo, o número de estruturas que o tipo possui, etc. Por exemplo, o tipo `Fin Nat` é menos distinto que `Nat` porque tem um tamanho menor (contém apenas o finito números naturais) e tem menos estruturas (não tem uma função sucessora).

Em geral, o conceito de subdistintividade é útil para compreender as relações entre diferentes tipos em uma teoria de tipos e pode ser usado para raciocinar sobre as propriedades de tipos e suas relações com outros tipos. Por exemplo, pode-se usar o conceito de subdistinção para provar que certos tipos são “essencialmente” iguais a outros tipos, ou para mostrar que certos tipos são “essencialmente” distintos de outros tipos.