Compreendendo o comutador de matrizes

O comutador de duas matrizes A e B, denotado por [A,B], é uma matriz que representa o resultado da aplicação da operação de uma matriz à outra. Especificamente, [A,B] = AB -BA. Em outras palavras, é a diferença entre o produto de A e B, e o produto de B e A.

Por exemplo, se tivermos duas matrizes A = [a11, a12; a21, a22] e B = [b11, b12; b21, b22], então o comutador [A,B] = AB -BA seria:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

O comutador de duas matrizes pode ser usado para medir a falha do produto da matriz em comutar. Se o comutador for zero, então o produto da matriz comuta, o que significa que a ordem em que multiplicamos as matrizes não importa. Se o comutador for diferente de zero, então o produto da matriz não comuta, e a ordem em que multiplicamos as matrizes importa.

Em resumo, o comutador de duas matrizes é uma medida de quão bem o produto da matriz comuta e pode ser usado para determinar se o produto é comutativo ou não.