Exatores na teoria das categorias: um guia para compreender a exatidão em functores

Exatores são uma forma de definir uma noção de "exatidão" para um functor, que pode ser usado para estudar as propriedades do functor.

Um exator é um par de functor e uma transformação natural entre ele e o functor de identidade. A ideia é que o functor seja "exato" no sentido de que preserva algum tipo de estrutura, como uma estrutura de grupo ou anel, e a transformação natural é uma forma de medir o quão bem o functor preserva essa estrutura.

Por exemplo, se temos um functor F: Grp -> Ab, onde Grp é a categoria de grupos e Ab é a categoria de grupos abelianos, então um exator para F pode ser um par (F, ε), onde ε é uma transformação natural de F ao funtor de identidade Id_Ab, tal que ε(g) é um homomorfismo de F(g) para g para todos os objetos g em Grp. Isso significa que F preserva a estrutura de grupo dos objetos em Grp, e ε mede quão bem F preserva essa estrutura.

Exatores têm muitas aplicações na teoria das categorias, incluindo o estudo de limites e colimites, a definição de funtores derivados e o estudo de transformações naturais entre functores. Eles também estão intimamente relacionados a outros conceitos importantes na teoria das categorias, como sequências exatas e triângulos.