O que é irredutibilidade na teoria das categorias?

Na teoria das categorias, um functor é chamado de irredutível se não puder ser decomposto como um produto de functores mais simples. Em outras palavras, um functor é irredutível se não puder ser expresso como uma composição de functores "mais simples", onde a simplicidade é medida em termos do número de morfismos envolvidos na composição.

Por exemplo, considere a categoria de conjuntos, onde os únicos morfismos são funções entre conjuntos. O functor identidade, que simplesmente retorna o conjunto inalterado, é um functor irredutível porque não pode ser decomposto como um produto de functores mais simples. Por outro lado, o functor que mapeia cada conjunto ao seu conjunto de potências não é irredutível porque pode ser decomposto como um produto de functores mais simples: o functor que mapeia cada conjunto ao seu conjunto subjacente e o functor que mapeia cada conjunto ao seu conjunto de potências .

Iredutibilidade é um conceito importante na teoria das categorias porque está intimamente relacionado à noção de objetos "primitivos" ou objetos "básicos". Em qualquer categoria, existem certos objetos que não podem ser decompostos em objetos mais simples, e esses objetos são frequentemente chamados de primitivos ou básicos. Da mesma forma, existem certos functores que não podem ser decompostos em functores mais simples, e esses functores são frequentemente chamados de irredutíveis.

Em resumo, irredutibilidade é um conceito na teoria das categorias que se refere à ideia de que alguns functores não podem ser decompostos em functores mais simples. Está intimamente relacionado à noção de objetos primitivos ou básicos e é um conceito importante para a compreensão da estrutura das categorias.