O que é um coproduto na teoria das categorias?

Um coproduto é uma construção matemática que generaliza a noção de produto em uma categoria. É uma forma de combinar dois objetos em uma categoria em um novo objeto, semelhante a como o produto cartesiano combina dois conjuntos em um novo conjunto.

Em uma categoria C, um coproduto é um par de objetos A e B, juntos com um morfismo (chamada de "coprojeção") de A a B, de modo que todo morfismo de A a C pode ser fatorado por meio desta coprojeção. Em outras palavras, cada seta de A a C pode ser escrita como uma composição da coprojeção seguida por alguma outra seta.

Aqui estão algumas propriedades principais dos coprodutos:

1. Existência: Os coprodutos existem em qualquer categoria que possua um objeto terminal (um objeto que não é fonte de nenhuma seta). Em particular, cada categoria tem um objeto terminal, que é frequentemente denotado por 1 ou I.
2. Propriedade universal: A coprojeção de A a B é universal no sentido de que é a "melhor" maneira de fatorar a seta de A a C. Mais precisamente, se houver dois morfismos de A a C, um pode ser fatorado por meio de a coprojeção, e a outra não.
3. Associatividade: Os coprodutos são associativos, o que significa que (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C). Isso significa que podemos combinar vários coprodutos na ordem que desejarmos.
4. Distributividade: Os coprodutos são distribuídos pelo produto, o que significa que A ⊕ (B × C) = (A ⊕ B) × (A ⊕ C). Isso nos permite usar coprodutos para construir estruturas mais complexas a partir de estruturas mais simples.

Coprodutos são usados em muitas áreas da matemática, incluindo teoria das categorias, álgebra homológica e teoria dos feixes. Eles fornecem uma maneira de construir novos objetos combinando os existentes e possuem muitas propriedades e aplicações interessantes.