Înțelegerea premultiplicației în algebra liniară

Premultiplicarea este o operație de matrice care înmulțește fiecare element al unei matrice cu elementul corespunzător al altei matrice și este notat cu simbolul „·” sau „⋅”. Este cunoscut și sub denumirea de produs Hadamard sau produs Schur.

În mai detaliat, dacă avem două matrice A și B, premultiplicarea lor AB este definită după cum urmează:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

în care A este o matrice n x n , B este o matrice n x m, iar n și m sunt dimensiunile matricelor. Rezultatul este o matrice n x m, unde fiecare element din poziția (i, j) este suma produselor elementelor corespunzătoare ale lui A și B.

Premultiplicarea are unele proprietăți utile, cum ar fi:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Premultiplicarea este utilizată în multe domenii ale algebrei liniare, cum ar fi descompunerea valorilor proprii, descompunerea valorii singulare și factorizarea matricei. Este, de asemenea, utilizat în învățarea automată, procesarea semnalului și în alte domenii în care matricele sunt folosite pentru a reprezenta date sau transformări.