Ce este un monoid? Definiție, exemple și aplicații
Un monoid este o structură matematică care constă dintr-un set de elemente și o operație care combină acele elemente într-un mod care satisface anumite proprietăți.
Pentru a fi mai specific, un monoid este definit după cum urmează:
* O mulțime „M” de elemente, care poate fi orice (numere, simboluri etc.).
* O operație `*` care preia două elemente `a` și `b` din `M` și returnează un alt element `a * b` tot în `M`.
Proprietățile pe care operația trebuie să le satisfacă sunt:
* Asociativitate: `(a * b) * c = a * (b * c)` pentru toate `a`, `b` și `c` din `M`. Aceasta înseamnă că ordinea în care efectuăm operația nu contează.
* Identitate: Există un element `e` în `M` astfel încât `a * e = e * a = a` pentru toate `a` din ` M`. Acest element este numit element de identitate și servește ca element „neutru” pentru operație.
* Invers: pentru fiecare element `a` din `M`, există un alt element `b` în `M` astfel încât ` a * b = b * a = e`. Acest element `b` se numește inversul lui `a` și anulează efectul lui `a` atunci când este combinat cu acesta.
De exemplu, mulțimea de numere întregi cu operația de adunare formează un monoid:
* Mulțimea `M ` este mulțimea tuturor numerelor întregi.
* Operația `*` este adunarea.
* Elementul de identitate este 0, deoarece `a + 0 = a` pentru orice număr întreg `a`.
* Inversul unui element `a ` este `-a`, deoarece `a + (-a) = 0`.
Un alt exemplu de monoid este mulțimea tuturor șirurilor de caractere cu operația de concatenare:
* Mulțimea `M` este mulțimea tuturor șiruri de caractere.
* Operația `*` este concatenare.
* Elementul de identitate este șirul gol, deoarece `a + "" = a` pentru orice șir `a`.
* Inversul unui element `a` este șirul obținut prin inversarea lui `a`, deoarece `a + ("" + a) = a + a = e`.
Monoizii sunt folosiți în multe domenii ale matematicii și informaticii, cum ar fi algebra abstractă, teoria grupurilor și funcționale. programare. Ele oferă o modalitate de a descrie simetria și structura în diferite obiecte și sisteme matematice și au multe aplicații în criptografie, teoria codificării și alte domenii ale informaticii.
Apreciez
Nu apreciez
Raportați o eroare de conținut
Share
