Exactori în teoria categoriilor: un ghid pentru înțelegerea exactității în functori

Exactorii sunt o modalitate de a defini o noțiune de „exactitate” pentru un functor, care poate fi folosită pentru a studia proprietățile functorului.

Un exactor este o pereche de functor și o transformare naturală între acesta și functorul de identitate. Ideea este că functorul este „exact” în sensul că păstrează un fel de structură, cum ar fi o structură de grup sau inel, iar transformarea naturală este o modalitate de a măsura cât de bine functorul păstrează această structură.

De exemplu, dacă avem un functor F: Grp -> Ab, unde Grp este categoria de grupuri și Ab este categoria de grupuri abeliene, atunci un exactor pentru F ar putea fi o pereche (F, ε), unde ε este o transformare naturală din F la functorul de identitate Id_Ab, astfel încât ε(g) este un homomorfism de la F(g) la g pentru toate obiectele g din Grp. Aceasta înseamnă că F păstrează structura de grup a obiectelor din Grp, iar ε măsoară cât de bine F păstrează această structură. transformări naturale între functori. Ele sunt, de asemenea, strâns legate de alte concepte importante din teoria categoriilor, cum ar fi secvențele exacte și triunghiurile.