Понимание изогений в криптографии

В криптографии изогения — это математическая функция, которая отображает одну эллиптическую кривую в другую. Изогении используются в различных криптографических протоколах, включая обмен ключами и цифровые подписи.

Изогения — это гомоморфизм (функция, сохраняющая групповую структуру) между двумя эллиптическими кривыми. Другими словами, это функция, которая отображает одну кривую в другую таким образом, что сохраняется групповая операция над кривой области. Изогении могут быть либо сюръективными (т. е. они отображают каждую точку кривой области значений в уникальную точку кривой диапазона), либо инъективными (т. е. они отображают каждую точку кривой области значений в уникальную точку на кривой диапазона, и ни одна точка не на кривой диапазона имеет прообраз под изогенией).

Изогении важны в криптографии, поскольку они позволяют эффективно обмениваться ключами между двумя сторонами, которые разделяют отношения изогении. Это может быть полезно в различных приложениях, таких как протоколы обмена ключами, цифровые подписи и системы безопасного обмена сообщениями. Например, если две стороны имеют общий секретный ключ, полученный в результате изогении между их соответствующими эллиптическими кривыми, они могут использовать этот ключ для шифрования и дешифрования сообщений или для аутентификации личности друг друга.

Существует несколько типов изогений, которые обычно используется в криптографии, в том числе:

1. Изогении формы y^2 = x^3 + ax + b: это изогении, которые отображают эллиптическую кривую формы y^2 = x^3 + ax + b в другую эллиптическую кривую той же формы.
2. Изогении формы y^2 = x^3 + ax + b, где a и b — константы: это изогении, которые отображают эллиптическую кривую формы y^2 = x^3 + ax + b в другую эллиптическую кривую форма y^2 = x^3 + cx + d, где c и d — константы.
3. Изогении формы y^2 = x^3 + ax + b, где a и b — полиномы: это изогении, которые отображают эллиптическую кривую формы y^2 = x^3 + ax + b в другую эллиптическую кривую форма y^2 = x^3 + P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) являются полиномами.

Изогении имеют несколько желательных свойств для криптографических приложений, в том числе:

1. Эффективность: изогении можно эффективно вычислять с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) или других специализированных алгоритмов.
2. Безопасность: Изогении устойчивы к атакам квантовых компьютеров, что делает их многообещающим выбором для постквантовой криптографии.3. Масштабируемость: Изогении можно использовать для создания крупномасштабных криптографических систем, безопасных и эффективных. Гибкость: изогении можно комбинировать с другими криптографическими примитивами, такими как шифрование с открытым ключом и цифровые подписи, для создания универсальных криптографических протоколов. Вкратце, изогении — это математические функции, которые сопоставляют одну эллиптическую кривую с другой, и они имеют широкий спектр приложений. в криптографии, включая обмен ключами, цифровые подписи и системы безопасного обмена сообщениями. Они обладают рядом желательных свойств, таких как эффективность, безопасность, масштабируемость и гибкость, что делает их многообещающим выбором для постквантовой криптографии.