Понимание коммутатора матриц

Коммутатор двух матриц A и B, обозначаемый [A,B], представляет собой матрицу, которая представляет собой результат применения операции одной матрицы к другой. В частности, [A,B] = AB -BA. Другими словами, это разница между произведением A и B и произведением B и A.

Например, если у нас есть две матрицы A = [a11, a12; а21, а22] и B = [b11, b12; b21, b22], то коммутатор [A,B] = AB -BA будет иметь вид:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; а21б11 + а22b21, а21b12 + а22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Коммутатор двух матриц можно использовать для измерения неспособности коммутировать произведение матрицы. Если коммутатор равен нулю, то произведение матриц коммутирует, а это означает, что порядок умножения матриц не имеет значения. Если коммутатор отличен от нуля, то произведение матрицы не коммутирует, и порядок, в котором мы умножаем матрицы, имеет значение. В общем, коммутатор двух матриц является мерой того, насколько хорошо коммутирует произведение матрицы, и может быть используется для определения, является ли произведение коммутативным или нет.